Question

【題目】如圖，已知四棱錐S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是邊SB的中點．
（1）求證：CE∥平面SAD；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取SA中點F，連結EF，FD，

∵E是邊SB的中點，

∴EF∥AB，且EF= AB，

又∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴AB∥CD，

又∵AB=2CD，且EF=CD，

∴四邊形EFDC是平行四邊形，

∴FD∥EC，

又FD平面SAD，CE平面SAD，

∴CE∥面SAD

（2）解：在底面內過點A作直線AM∥BC，則AB⊥AM，

又SA⊥平面ABCD，

以AB，AM，AS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E（1，0，1），

則 =（0，2，0）， =（﹣1，0，1）， =（﹣1，0，）， =（﹣1，﹣2，1），

設面BCE的一個法向量為 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，0，1），

同理求得面DEC的一個法向量為 =（0，1，2），

cos＜ ＞= = ，

由圖可知二面角D﹣EC﹣B是鈍二面角，

∴二面角D﹣EC﹣B的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）取SA中點F，連結EF，FD，推導出四邊形EFDC是平行四邊形，由此能證明CE∥面SAD．（2）在底面內過點A作直線AM∥BC，則AB⊥AM，以AB，AM，AS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D﹣EC﹣B的余弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)．