Question

由原點O向三次曲線y=x³-3ax²+bx （a≠0）引切線，切于不同于點O的點P₁（x₁，y₁），再由P₁引此曲線的切線，切于不同于P₁的點P₂（x₂，y₂），如此繼續地作下去，…，得到點列{ P _n（x _n，y _n）}，試回答下列問題：
（1）求x₁；
（2）求x_n與x_n+1的關系；
（3）若a＞0，求證：當n為正偶數時，x_n＜a；當n為正奇數時，x_n＞a．

Answer 1

【答案】分析：（1）向三次曲線y=x³-3ax²+bx （a≠0），對其進行求導，求出切線l₁的方程，根據其過點（0，0），可以求出x₁；
（2）根據導數與直線的斜率的關系，再求點P_n+1（x_n+1，y_n+1）的切線l_n+1的方程，這個切線方程過點P_n（x_n，y_n），代入可得x_n與x_n+1的關系；
（3）根據（2）已知的x_n與x_n+1的關系，遞推關系，將其湊為等比數列，其實n分為奇偶，從而進行證明；
解答：解：（1）由y=x³-3ax²+bx…①，得y′=3x²-6ax+b
過曲線①上的點P（x₁，y₁）的切線l₁的方程是
y-（-3a+bx₁）=（3-6ax₁+b）（x-x₁），（x₁≠0）
由它過原點，有-+3a-bx₁=-x₁（3-6ax₁+b），
2=3a（x₁≠0），∴x₁=；
（2）過曲線①上點P_n+1（x_n+1，y_n+1）的切線l_n+1的方程是，
y-（-3a+bx_n+1）=（3-6ax_n+1+b）（x-x_n+1），
由l_n+1過曲線①上點P_n（x_n，y_n），有
-3a+bx_n-（-3a+bx_n+1）=（3-6ax_n+1+b）（x_n-x_n+1），
∵x_n-x_n+1≠0，以x_n-x_n+1除上式，得
+x_nx_n+1+-3a（x_n+x_n+1）+b=3x²_n+1-6ax_n+1+b，
+x_nx_n+1-2-3a（x_n-x_n+1）=0，以x_n-x_n+1除之，得
x_n+2x_n+1-3a=0，
（3）由（2）得，
∴．
故數列{x _n-a}是以x ₁-a=為首項，公比為-的等比數列，
∴，
∴．
∵a＞0，
∴當n為正偶數時，；
當n為正奇數時，．
點評：此題主要考查數列與函數的綜合，難度有些大，還考查導數與直線斜率的關系，還考查分類討論的思想，考查的知識點比較多，是一道難題；