Question

設函數f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）
（1）若函數f（x）在x∈[-1，1]內沒有極值點，求實數a的取值范圍；
（2）a=1時函數f（x）有三個互不相同的零點，求實數m的取值范圍；
（3）若對任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要使函數f（x）在x∈[-1，1]內沒有極值點，只需f′（x）=0在[-1，1]上沒有實根即可，即f′（x）=0的兩根x=-a或x=

a

3

不在區間[-1，1]上；
（2）a=1時，f（x）=x³+x²-x+m，f（x）有三個互不相同的零點，即m=-x³-x²+x有三個互不相同的實數根，構造函數確定函數的單調性，求函數的極值，從而確定m的取值范圍；
（3）求導函數，來確定極值點，利用a的取值范圍，求出f（x）在x∈[-2，2]上的最大值，再求滿足f（x）≤1時m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0），∴f′（x）=3x²+2ax-a²，
∵f（x）在x∈[-1，1]內沒有極值點，∴方程f′（x）=3x²+2ax-a²=0在[-1，1]上沒有實數根，
由△=4a²-12×（-a²）=16a²＞0，二次函數對稱軸x=-

a

3

＜0，
當f′（x）=0時，即（3x-a）（x+a）=0，解得x=-a或x=

a

3

，
∴

-a＜-1 a 3 ＞1

，或

a

3

＜-1（a＜-3不合題意，舍去），解得a＞3，
∴a的取值范圍是{a|a＞3}；
（2）當a=1時，f（x）=x³+x²-x+m，
∵f（x）有三個互不相同的零點，
∴f（x）=x³+x²-x+m=0，即m=-x³-x²+x有三個互不相同的實數根．
令g（x）=-x³-x²+x，則g′（x）=-（3x-1）（x+1）
令g′（x）＞0，解得-1＜x＜

1

3

；令g′（x）＜0，解得x＜-1或x＞

1

3

，
∴g（x）在（-∞，-1）和（

1

3

，+∞）上為減函數，在（-1，

1

3

）上為增函數，
∴g（x）_極小=g（-1）=-1，g（x）_極大=g（

1

3

）=

5

27

；
∴m的取值范圍是（-1，

5

27

）；
（3）∵f′（x）=0時，x=-a或x=

a

3

，
且a∈[3，6]時，

a

3

∈[1，2]，-a∈（-∞，-3]；
又x∈[-2，2]，∴f′（x）在[-2，

a

3

）上小于0，f（x）是減函數；
f′（x）在（

a

3

，2]上大于0，f（x）是增函數；
∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}，
而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0，
∴f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m，
又∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立，
∴f（x）_max≤1，即-8+4a+2a²+m≤1，
即m≤9-4a-2a²，在a∈[3，6]上恒成立
∵9-4a-2a²在a∈[3，6]上是減函數，最小值為-87
∴m≤-87，
∴m的取值范圍是{m|m≤-87}．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性與極值、最值，以及不等式恒成立的問題，屬于難題．