Question

“剪刀、石頭、布”游戲的規則是：出拳之前雙方齊喊口令，然后在話音剛落時同時出拳，握緊的拳頭代表“石頭”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸開代表“布”．“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，而“布”又勝“石頭”，如果所出的拳相同，則為和局．現甲乙二人通過“剪刀、石頭、布”游戲進行比賽．
（Ⅰ） 設甲乙二人每局都隨機出“剪刀”、“石頭”、“布”中的某一個，求甲勝乙的概率；
（Ⅱ）據專家分析，乙有以下的出拳習慣：①第一局不出“剪刀”；②連續兩局的出拳方法一定不一樣，即如果本局出“剪刀”，則下局將不再出“剪刀”，而是選“石頭”、“布”中的某一個．假設專家的分析是正確的，甲根據專家的分析出拳，保證每一局都不輸給乙．在最多5局的比賽中，誰勝的局數多，誰獲勝．游戲結束的條件是：一方勝3局或賽滿5局，用X表示游戲結束時的游戲局數，求X的分布列和期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）根據“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，而“布”又勝“石頭”，可得甲勝乙的概率為P=
（Ⅱ）第一局乙不出“剪刀”，則只能出“石頭”或“布”，此時甲應該出“布”，才能保證不輸給乙，甲勝的概率為；不妨設乙第一局出的“石頭”，則乙第二局只能出“剪刀”或“布”，此時甲應出“剪刀”，才能保證不輸給乙，則甲勝的概率為；同理第三、四、五局甲勝的概率也為．
X的可能取值為3，4，5
，，
∴X的分布列為　

X	3	4	5
P

故
分析：（Ⅰ）根據“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，而“布”又勝“石頭”，可得甲勝乙的概率；
（Ⅱ）先求第一局甲勝的概率為，同理第二、第三、四、五局甲勝的概率也為，X的可能取值為3，4，5，求出相應的概率，即可得到X的分布列和期望．
點評：本題考查離散型隨機變量的概率分布列與期望，解題的關鍵是確定X的可能取值，求出相應的概率．