Question

已知函數f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），則a+b的取值范圍是

1. A.
   （1，+∞）
2. B.
   [1，+∞）
3. C.
   （2，+∞）
4. D.
   [2，+∞）

Answer 1

C
分析：由已知條件a≠b，不妨令a＜b，又y=lgx是一個增函數，且f（a）=f（b），故可得，0＜a＜1＜b，則 lga=-lgb，再化簡整理即可求解；或采用線性規劃問題處理也可以．
解答：（方法一）因為f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，
不妨設0＜a＜b，則0＜a＜1＜b，∴lga=-lgb，lga+lgb=0
∴lg（ab）=0
∴ab=1，
又a＞0，b＞0，且a≠b
∴（a+b）²＞4ab=4
∴a+b＞2
故選C．

（方法二）由對數的定義域，設0＜a＜b，且f（a）=f（b），得：，
整理得線性規劃表達式為：，
因此問題轉化為求z=x+y的取值范圍問題，則z=x+y?y=-x+z，即求函數的截距最值．
根據導數定義，函數圖象過點（1，1）時z有最小為2（因為是開區域，所以取不到2），
∴a+b的取值范圍是（2，+∞）．
故選C．
點評：本小題主要考查對數函數的性質、函數的單調性、函數的值域，考生在做本小題時極易忽視a的取值范圍，根據條件a＞0，b＞0，且a≠b可以利用重要不等式（a²+b²≥2ab，當且僅當a=b時取等號）列出關系式（a+b）²＞4ab=4，進而解決問題．