Question

對于定義在R上的函數f（x），有下述命題：
①若f（x）是奇函數，則f（x-1）的圖象關于點A（1，0）對稱；
②若函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，則f（x）為偶函數；
③若對x∈R，有f（x-1）=-f（x），則2是f（x）的周期；
④函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于直線x=-1對稱．
其中正確命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：分別利用函數的奇偶性和對稱性，周期性進行判斷．

解答：解：①若f（x）是奇函數，則f（x）關于點（0，0）對稱，將函數f（x）向右平移1個單位得到函數f（x-1），此時函數關于（1，0）點對稱，所以①正確．
②若函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，將f（x-1）向左平移1個單位得到函數f（x）的圖象，此時關于x=0對稱，所以f（x）為偶函數，所以②正確．
③由f（x-1）=-f（x），得f（x-2）=f（x），即f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期2，所以③正確．
④函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于直線x=0對稱，所以④錯誤．
故答案為：①②③．

點評：本題主要考查函數奇偶性和對稱性，周期性的判斷和應用，要求熟練掌握函數性質的綜合應用．