Question

如圖，三棱錐P―ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，

AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB．

 (I) 求證：AB平面PCB；

 (II) 求異面直線AP與BC所成角的大小；

（III）求二面角C-PA-B的大小．

Answer 1

解法一：(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，

∴PCAB．

∵CD平面PAB，平面PAB，

∴CDAB．

又，

∴AB平面PCB．

(II) 過點A作AF//BC，且AF=BC，連結PF，CF．

則為異面直線PA與BC所成的角

由（Ⅰ）可得AB⊥BC，

∴CFAF．

由三垂線定理，得PFAF．

則AF=CF=，PF=，

在中，  tan∠PAF==，

∴異面直線PA與BC所成的角為．

（III）取AP的中點E，連結CE、DE．

∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB，

由三垂線定理的逆定理，得  DE PA．

∴為二面角C-PA-B的平面角．

由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．

　　在中，PB=，

    ．

    在中， sin∠CED=．

∴二面角C-PA-B的大小為arcsin．

解法二：（I）同解法一．

(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，

又∵AB=BC，可求得BC=．

以B為原點，如圖建立坐標系．

則Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），

C（，０，0），P（，０，2）．

，．

    則+0+0=2．

    == ．

   ∴異面直線AP與BC所成的角為．

（III）設平面PAB的法向量為m= (x，y，z)．

，，

則   即

解得   令= -1,  得 m= (，0，-1)．

   設平面PAC的法向量為n=()．

，，

 則   即

解得   令=1,  得 n= (1，1，0)．

    =．

    ∴二面角C-PA-B的大小為arccos．