Question

已知，
（1）若函數在區間[1，+∞）上是增函數，求實數m的取值范圍．
（2）若m≤2，求函數g（x）=f（x）-lnx在區間上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知f（x）在區間[1，+∞）上是增函數，說明其導數f′（x）在區間[1，+∞）上是大于0的，再利用常數分離法求出實數m的取值范圍；
（2）把f（x）的解析式代入g（x），對g（x）進行求導，求出極值點，此時需要對m進行討論，利用導數研究g（x）的最值問題；
解答：解：（1）由條件得到f（x）在區間[1，+∞）上是減函數且f（x）+2＞0在區間[1，+∞）上恒成立，
f′（x）=1-≥0?m≤x²，在區間[1，+∞）上恒成立，得到m≤1，
f（x）+2＞0在區間[1，+∞）上恒成立，得到m＞-3，
所以實數m的取值范圍是：（-3，1]…6分
（2）g（x）=x+-lnx，則g′（x）=1--=，
（一）若m≤-時，g′（x）≥0，g（x）是[，2]上的增函數，
所以…（9分）
（二）若時，由g′（x）=0
得到，
且時，g′（x）≤0，x∈[x₂，2]時，g′（x）≥0，
所以=；…（12分）
點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的，此題還考查了分類討論的思想，此題是一道中檔題；