Question

已知函數f(x)=.
(1)若f(x)=2，求x的值；
(2)判斷x>0時，f(x)的單調性；
(3)若恒成立，求m的取值范圍。

Answer 1

(1) x＝log₃(1＋) ；
(2) f(x)＝3^x－在(0，＋∞)上單調遞增 ；
(3) [－4，＋∞).

解析試題分析：(1)當x≤0時，f(x)＝3^x－3^x＝0，∴f(x)＝2無解．
當x>0時，f(x)＝3^x－，令3^x－＝2，
∴(3^x)²－2·3^x－1＝0，∴3^x＝1±.
∵3^x>0，∴3^x＝1－ (舍)．∴3^x＝1＋.∴x＝log₃(1＋)             4分
(2)當x>0，f(x)＝3^x－.∵y＝3^x在(0，＋∞)上單調遞增，
y＝在(0，＋∞)上單調遞減．
∴f(x)＝3^x－在(0，＋∞)上單調遞增        8分
(3)∵t∈[，1]，∴f(t)＝3^t－>0，
∴3^tf(2t)＋mf(t)≥0化為3^t(3^2t－)＋m(3^t－)≥0.
即3^t(3^t＋)＋m≥0.即m≥－3^2t－1.
令g(t)＝－3^2t－1，則g(t)在[，1]上遞減，
∴g(x)_max＝－4.
∴所求實數m的取值范圍是[－4，＋∞)         13分
考點：本題主要考查指數函數的性質，指數方程的解法，不等式恒成立問題。
點評：中檔題，解簡單的指數方程，一般是考慮化同底數指數冪相等或利用“換元法”，轉化成一元二次方程求解。不等式恒成立問題，一般是利用“分離參數法”，轉化成求函數最值問題。