Question

已知數(shù)列{}中，（n≥2，），

   （1）若，數(shù)列滿足（），求證數(shù)列{}是等差數(shù)列；

   （2）在（1）的情況下，求數(shù)列{}中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說明理由；

   （3）若，試證明：．

Answer 1

解：（1），而　，

∴　．

∴　{}是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．

（2）由（1）有，而，∴　.

對于函數(shù)，在x＞3.5時(shí)，y＞0，，在（3.5，）上為減函數(shù).　

故當(dāng)n＝4時(shí)，取最大值3.

而函數(shù)在x＜3.5時(shí)，y＜0，，在（，3.5）上也為減函數(shù)．故當(dāng)n＝3時(shí)，取最小值，＝－1.

（3）       用數(shù)學(xué)歸納法證明，再證明

      ① 當(dāng)時(shí)，成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即，

                 當(dāng)時(shí)，

                  故當(dāng)時(shí)也成立， 

綜合①②有，命題對任意時(shí)成立，即.

                 （也可設(shè)（1≤≤2），則，

故）.

                  下證：