Question

如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，且，頂點在底面內的射影恰好落在的中點上.

（1）求證：；

（2）若，求直線與所成角的 余弦值；

（3）若平面與平面所成的二面角為，求的值.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）以O為坐標原點，AB所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系o-xyz，求出向量，的坐標，代入數量積公式，驗證其數量積與0的關系，即可得到結論．
（2）由PO=BC，得h=a，求出向量，的坐標，代入向量夾角公式，即可求出直線PD與AB所成的角；
（3）求出平面APB與平面PCD的法向量，根據平面APB與平面PCD所成的角為60°，構造關于h的方程，解方程即可得到的值．

試題解析：因為中點為點在平面內的射影，所以平面．過作的平行線交與點，則.

建立如圖所示的空間直角坐標系 2分

（1）設，，則

,．

∴．

∵， ∴ . 6分

（2）由，得，于是

∵， 8分

∴，

∴直線PD與AB所成的角的余弦值為. 10分

（3）設平面PAB的法向量為，可得，

設平面PCD的法向量為，

由題意得，

∵∴令，得到， 12分

∴， 14分

∵平面與平面所成的二面角為，∴，解得，

即． 16分

考點：(1)直線與平面所成的角；(2)異面直線及其所成的角．