Question

符號[x]表示不超過x的最大整數，如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數{x}=x-[x]，那么下列命題中正確的序號是    ．
（1）函數{x}的定義域為R，值域為[0，1]；   
（2）方程，有無數解；
（3）函數{x}是非奇非偶函數；             
（4）函數{x}是增函數．

Answer 1

【答案】分析：要使解析式有意義，得出函數{x}的定義域為R，由周期函數的定義證明此函數為周期函數，使求出一個周期的上的值域，即為整個函數的值域，周期函數不是單調函數，根據奇偶性的定義判定奇偶性即可．
解答：解：∵函數{x}的定義域為R，
而{-x}=-x-[-x]≠-{x}，且{-x}=-x-[-x]≠{x}，
∴函數{x}是非奇非偶函數；∴（3）是正確的，
又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函數{x}=x-[x]是周期為1的函數，
當0≤x＜1時，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函數{x}的值域為[0，1），∴（1）錯誤，
當x=時，{x}=，又∵函數{x}=x-[x]是周期為1的函數，∴x=+k時（k∈Z），{x}=，∴（2）是正確的，
∵函數{x}是周期為1的函數，∴函數{x}不是單調函數，∴（4）錯誤
故答案為：（2）（3）
點評：本題主要考查了自定義一個函數，求函數的性質，一般研究函數從圖象入手，要找出準確的切入點，x∈R時，[x]∈Z，x-[x]∈[0，1），屬于中檔題．