Question

已知a、b、c為某一直角三角形的三條邊長，c為斜邊．若點(diǎn)（m，n）在直線ax+by+2c=0上，則m²+n²的最小值是

4

．

Answer 1

分析：由直角三角形且c為斜邊，根據(jù)勾股定理表示出一個(gè)關(guān)系式，因?yàn)樗�求式子即為原點(diǎn)到已知點(diǎn)距離的平方，而點(diǎn)到直線的距離只有垂線段最短，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出原點(diǎn)到已知直線的距離，把表示出的關(guān)系式代入即可求出原點(diǎn)到已知直線的距離，平方即可得到所求式子的最小值．

解答：解：根據(jù)題意可知：當(dāng)（m，n）運(yùn)動到原點(diǎn)與已知直線作垂線的垂足位置時(shí)，m²+n²的值最小，
由三角形為直角三角形，且c為斜邊，根據(jù)勾股定理得：c²=a²+b²，
所以原點(diǎn)（0，0）到直線ax+by+2c=0的距離d=

|0+0+2c|

a2+b2

=2，
則m²+n²的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評：此題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，以及勾股定理．理解當(dāng)動點(diǎn)（m，n）運(yùn)動到原點(diǎn)到已知直線垂直時(shí)垂足的位置時(shí)，所求式子達(dá)到最小是解本題的關(guān)鍵．