Question

【題目】定義個數的“倒均值”.

（1）若數列的前項，的“倒均值”. 求的通項公式

（2）在（1）的條件下，令，試研究數列的單調性，并給出證明.

（3）在（2）的條件下，設函數，對于數列，是否存在實數，使得當時，對任意恒成立？若存在，求出在最小的實數，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）數列為增函數，證明見解析

（3）存在，

【解析】

（1）由“倒均值”的定義求解即可；

（2）由定義法證明數列的單調性即可；

（3）利用最值法可得，當時，恒成立，從而求解的范圍即可得解.

解：（1）由“倒均值”的定義及的“倒均值”為，

則，

所以，

當時， ，

又當時，，滿足上式，

即，

故的通項公式為；

（2）由（1）得：，

則數列為增函數，證明如下：

，即，

故數列為增函數；

（3）存在，理由如下：

由（2）可得：當時，取最小值，

設存在實數，使得當時，對任意恒成立，

則存在實數，使得當時，恒成立，

解二次不等式，

解得：或，

即存在實數，使得當時，恒成立，此時，

即最小的實數為.