Question

（2013•保定一模）設函數f（x）在R上是可導的偶函數，且滿足f （x-1）=-f （x+1），則曲線y=f （x）在點x=10處的切線的斜率為（　　）

A．-1

B．0

C．1

D．2

Answer 1

分析：由已知f （x-1）=-f （x+1），變形后得到函數的周期，然后由可導偶函數的導數是奇函數，且周期不變求解f^′（10）．

解答：解：由f （x-1）=-f （x+1），
得f（x）=-f（x+2），
所以f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
所以函數y=f（x）的周期為4．
因為周期為4的可導偶函數的導數是周期為4的奇函數，
所以曲線y=f （x）在點x=10處的切線的斜率為
f^′（10）=f^′（2）．
因為f（x）=-f（x+2），
所以f^′（x）=-2f^′（x+2），
所以f′(2)=-

1

2

f′(0)=0．
故f^′（10）=0．
故選B．

點評：本題考查了導數的運算，考查了函數的性質，解答的關鍵是明確可導函數在求導后奇偶性的變化，屬中檔題．