Question

【題目】已知數列{an}的前n項和是Sn，且Sn=1（n∈N），數列{bn}是公差d不等于0的等差數列，且滿足：b1=，而b2，b5，ba14成等比數列．

（1）求數列{an}、{bn}的通項公式；

（2）設cn=anbn，求數列{cn}的前n項和Tn．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】分析：（I）Sn=1（n∈N），n≥2時，Sn﹣1+an﹣1=1，相減可得：an﹣an﹣1=0，化為：an=an﹣1．利用等比數列的通項公式可得an．數列{bn}是公差d不等于0的等差數列，且滿足：b1==1．由b2，b5，b14成等比數列．可得=b2b14，（1+4d）2=（1+d）（1+13d），d≠0．解得d．即可得出；（Ⅱ）設cn=anbn=，利用錯位相減法即可得出．

詳解：

（1）Sn=1（n∈N），n≥2時，Sn﹣1+an﹣1=1，相減可得：an﹣an﹣1=0，化為：an=an﹣1．

n=1時，a1+=1，解得a1=．

∴數列{an}是等比數列，首項為，公比為．∴an==2×．

數列{bn}是公差d不等于0的等差數列，且滿足：b1==1．

∵b2，b5，b14成等比數列．∴=b2b14，

∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），d≠0．解得d=2．∴bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

（2）設cn=anbn=．

求數列{cn}的前n項和Tn=+……+．

=+……++，

相減可得：Tn=+4﹣=+4×﹣，

化為：Tn=2﹣．