Question

【題目】在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.已知曲線： （為參數(shù)）， ：（為參數(shù)）.

（1）化，的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

（2）直線的極坐標方程為，若上的點對應的參數(shù)為，為上的動點，求線段的中點到直線距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）利用同角三角函數(shù)的平方關系消去參數(shù)，即可化為普通方程，并根據(jù)方程形式判斷曲線類型.

（2）先根據(jù)題意，將直線的直角坐標方程求出來，將坐標求出來，再利用參數(shù)法，表示線段的中點到直線距離，從而得到該距離的函數(shù)，通過研究函數(shù)得到其最小值.

（1）因為： （為參數(shù)），

消去參數(shù)得：，表示以為圓心，為半徑的圓；

因為：（為參數(shù)），

消去參數(shù)得：，表示焦點在軸上的橢圓.

（2）因為直線的極坐標方程為，

利用互化公式可得直角坐標方程為：，

因為若上的點對應的參數(shù)為，所以，

因為為上的動點，則設，

所以線段的中點，

設到直線距離為，則有

所以當時，.