Question

設函數f（x）=k×2^x-2^-x是定義域為R的奇函數．
（1）求k的值，并判斷f（x）的單調性（不需要用定義證明）；
（2）解不等式f[f（x）]＞0；
 （3）設g（x）=4^x+4^-x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）利用f（0）=0，求得k的值，再驗證函數是奇函數即可，判斷y=2^x，y=-2^-x是增函數，即可得到結論；
（2）f[f（x）]＞0，等價于f[f（x）]＞f（0），利用函數的單調性，可得結論；
（3）先換元，再利用配方法，分類討論，利用函數在[1，+∞）上的最小值為-2，可求m的值．

解答：解：（1）∵函數f（x）=k×2^x-2^-x是奇函數，∴f（0）=0，∴k×2⁰-2^-0=0，∴k=1．

∴f(x)=2x-2-x

，此時f（-x）=-f（x），滿足題意
∵y=2^x是增函數，∴y=-2^-x是增函數，∴f（x）=2^x-2^-x是增函數；
（2）∵f[f（x）]＞0，∴f[f（x）]＞f（0）．
∵f（x）=2^x-2^-x是增函數，∴2^x-2^-x＞0，∴2^x＞2^-x，∴x＞0，∴f[f（x）]＞0的解集是（0，+∞）．
（3）令2^x-2^-x=t，∵x≥1，∴t≥

3

2

，y=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2(t≥

3

2

)，
①當m≥

3

2

時，g(x)min=2-m2，∴2-m²=-2，∴m=2．
②當m＜

3

2

時，y在t=

3

2

時取最小值，

9

4

-3m+2=-2，∴m=

25

12

（舍去）．
綜上得m=2．

點評：本題考查函數奇偶性與單調性的結合，考查解不等式，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．