Question

已知集合A={1，2，3，…，2n（n∈N^*）}．對于A的一個子集S，若存在不大于n的正整數m，使得對于S中的任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，則稱S具有性質P．
（Ⅰ）當n=10時，試判斷集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}是否具有性質P？并說明理由．
（II）若集合S具有性質P，試判斷集合 T={（2n+1）-x|x∈S）}是否一定具有性質P？并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當n=10時，集合A={1，2，3，，19，20}，B={x∈A|x=10，11，12，，19，20}不具有性質P．
因為對任意不大于10的正整數m，都可以找到集合B中兩個元素b₁=10與b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立．
集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}具有性質 P．
因為可取m=1＜10，對于該集合中任意一對元素c₁=3k₁-1，c₂=3k₂-1，k₁，k₂∈N^*
都有|c₁-c₂|=3|k₁-k₂|≠1．
（Ⅱ）若集合S具有性質P，那么集合T={（2n+1）-x|x∈S}一定具有性質P．
首先因為T={（2n+1）-x|x∈S}，任取t=（2n+1）-x₀∈T，其中x₀∈S，
因為 S⊆A，所以，x₀∈{1，2，3，，2n}，從而，1≤（2n+1）-x₀≤2n，即t∈A，所以T⊆A．
由S具有性質P，可知存在不大于n的正整數m，使得對S中的任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，
對上述取定的不大于n的正整數m，從集合T={（2n+1）-x|x∈S}中任取元素t₁=2n+1-x₁，t₂=2n+1-x₂，
其中，x₁，x₂∈S，都有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|； 因為 x₁，x₂∈S，所以有|x₁-x₂|≠m，即|t₁-t₂|≠m，
所以集合T={（2n+1）-x|x∈S}具有性質P．
分析：（Ⅰ）對于集合B，對任意不大于10的正整數m，都可以找到集合B中兩個元素b₁=10與b₂=10+m，
使得|b₁-b₂|=m成立，故B不具有性質P．對于集合C，可取m=1，對于該集合中任意一對元素c₁=3k₁-1，c₂=3k₂-1，
都有|c₁-c₂|=≠m，故集合C 有性質 P．
（Ⅱ） 任取t=（2n+1）-x₀∈T，其中x₀∈S，可得t∈A，所以，T⊆A，對S中的任意一對元素s₁，s₂，都有
|s₁-s₂|≠m，從集合T中任取元素t₁=2n+1-x₁，t₂=2n+1-x₂，都有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|，由|x₁-x₂|≠m，
可知|t₁-t₂|≠m，故集合T具有性質P．
點評：本題考查了子集的概念，以及性質P的定義，運用了取特殊值的方法．