Question

已知適合不等式|x²-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值為3，求p的值．

Answer 1

分析：原不等式等價于|x²-4x+p|-x+3≤5，則

x2-5x+p-2≤0 x2-3x+p+2≥0

解的最大值為3，設 x²-5x+p-2=0 的根分別為x₁和x₂，x₁＜x₂，x²-3x+p+2=0的根分別為x₃和 x₄，x₃＜x₄．
則分x₂=3 和 x₄=3 兩種情況，分別求得 p的值．

解答：解：因為x的最大值為3，故x-3＜0，
原不等式等價于|x²-4x+p|-x+3≤5，（3分）
即-x-2≤x²-4x+p≤x+2，則

x2-5x+p-2≤0 x2-3x+p+2≥0

 解的最大值為3，（6分）
設 x²-5x+p-2=0 的根分別為x₁和x₂，x₁＜x₂，x²-3x+p+2=0的根分別為x₃和 x₄，x₃＜x₄．
則x₂=3，或 x₄=3．
若x₂=3，則9-15+p-2=0，p=8，若x₄=3，則9-9+p+2=0，p=-2．
當p=-2時，原不等式無解，檢驗得：p=8 符合題意，故 p=8．（12分）

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，關鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解．體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．