Question

附加題：
連續函數f（x）滿足：對于任何x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y）成立，且f（x）不是常數函數．
（Ⅰ）求證：對于任意x∈R，都有f（x）＞0；
（Ⅱ）求證：對于任意x∈Q，都有f（x）=[f（1）]^x；
（Ⅲ）設f（1）=a，求證：對于任意x∈R，都有f（x）=a^x．

Answer 1

分析：（I）利用反證法證明，先假設f（x）＜0，然后推出與已知條件矛盾，即可得以證明；
（II）首先得出f（0）=1即可得出f（-x）=

1

f(x)

=[f（x）]^-1，然后推出f（1）=f（

1

n

+

1

n

+…+

1

n

）=[f（

1

n

）]ⁿ，f（

1

n

）=[f(1)]

1

n

，再設x=

m

n

即可得出結論．
（III）設x=x₁+x₂+x₃+…，然后根據條件得出f（x）=f（x₁+x₂+x₃+…）=a^x_1•a^^x_2•a^x₃•…=a^{（x₁+x₂+x₃+…）}=a^x．

解答：證明：（I）假設設f（x）＜0，
∵x、y∈R，則f（x+y）＜0
f（x）．f（y）＞0，
與f（x+y）=f（x）．f（y）矛盾，
∴f（x）＞0
（II）對任意x，f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1，即f（-x）=

1

f(x)

=[f（x）]^-1
    可以推出：f（m）=f（1+1+…+1）=[f（1）]^m，m為正整數．
            f（1）=f（

1

n

+

1

n

+…+

1

n

）=[f（

1

n

）]ⁿ，f（

1

n

）=[f(1)]

1

n

，n為正整數．
  設x=

m

n

，m、n為整數．
  f（x）=f（

m

n

）=[f(1)]

m

n

=[f（x）]^x
（III）設x為任意實數，則存在一系列有理數（可能是無窮多個）x₁、x₂、x₃、…
  使得x=x₁+x₂+x₃+…
∵f（x+y）=f（x）?f（y）
  所以，f（x）=f（x₁+x₂+x₃+…）=a^x_1•a^^x_2•a^x₃•…=a^{（x₁+x₂+x₃+…）}=a^x

點評：本題考查了函數恒成立問題以及函數的值域，對于有些從正面證明較復雜的問題可以采取反證法，使得問題簡單化．