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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

已知橢圓左、右焦點分別為F1、F2，點，點F2在線段PF1的中垂線上．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M與F2N的傾斜角分別為，且，求證：直線過定點，并求該定點的坐標．

 

【答案】

（1）

（2）直線MN的方程為，因此直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0）

【解析】解：（1）由橢圓C的離心率 得，其中，

    橢圓C的左、右焦點分別為又點F2在線段PF1的中垂線上

    解得

       4分

   （2）由題意，知直線MN存在斜率，設其方程為  由

    消去設

    則                  且   8分

    由已知，                  得

    化簡，得     10分

    整理得

      直線MN的方程為，   因此直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0）  

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其焦距為2c，若
c
a
=
5
-1
2
（≈0.618），則稱橢圓C為“黃金橢圓”．
（1）求證：在黃金橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）中，a、b、c成等比數列．
（2）黃金橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F2（c，0），P為橢圓C上的任意一點．是否存在過點F2、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足
RP
=-3
PF2
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由．
（3）在黃金橢圓中有真命題：已知黃金橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1（-c，0）、F2（c，0），以A（-a，0）、B（a，0）、D（0，-b）、E（0，b）為頂點的菱形ADBE的內切圓過焦點F1、F2．試寫出“黃金雙曲線”的定義；對于上述命題，在黃金雙曲線中寫出相關的真命題，并加以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知中心在坐標原點、焦點在x軸上橢圓的離心率e=
3
3
，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線y=x+2相切．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設橢圓的左，右焦點分別是F1和F2，直線l1過F2且與x軸垂直，動直線l2與y軸垂直，l2交l1于點P，求線段PF1的垂直平分線與l2的交點M的軌跡方程，并指明曲線類型．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•茂名二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1（-c，0）、F2（c，0），離心率為
1
2
，橢圓上的動點P到直線l：x=
a2
c
的最小距離為2，延長F2P至Q使得|
F2Q
|=2a，線段F1Q上存在異于F1的點T滿足
PT
•
TF1
=0．
（1）求橢圓的方程；
（2）求點T的軌跡C的方程；
（3）求證：過直線l：x=
a2
c
上任意一點必可以作兩條直線與T的軌跡C相切，并且過兩切點的直線經過定點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，左、右焦點分別是F1，F2，過點F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為4
2
．則橢圓C的方程為
 
．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年遼寧省五校協作體高三摸底考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓左、右焦點分別為F1、F2，點，點F2在線段PF1的中垂線上。

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M與F2N的傾斜角互補，求證：直線過定點，并求該定點的坐標。

 

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