Question

（本小題滿分14分）

如圖1，在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，，,現將梯形沿CB、DA折起，使且，得一簡單組合體如圖2示，已知分別為的中點．

圖1                                圖2

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）當多長時，平面與平面所成的銳二面角為？

 

Answer 1

【答案】

（1）先由中位線定理證，再根據線面平行的判定定理證明即可；

（2）先證，再證，進而證明平面，從而結論可證；

（3）時，平面與平面所成的銳二面角為

【解析】

試題分析：（1）證明：連，∵四邊形是矩形，為中點，

∴為中點，                                                      ……1分

在中，為中點，故                                ……3分

∵平面，平面，平面；              ……4分

（其它證法，請參照給分）

（2）依題意知 且

∴平面

∵平面，∴，                                    ……5分

∵為中點，∴ 

結合，知四邊形是平行四邊形

∴，                                              ……7分

而，∴ ∴，即  ……8分

又，∴平面，

∵平面，∴.                                       ……9分

（3）解法一：如圖，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系

設，則

易知平面的一個法向量為，                           ……10分

設平面的一個法向量為，則

故，即

令，則，故                                ……11分

∴，

依題意，，，                                    ……13分

即時，平面與平面所成的銳二面角為．           ……14分

【解法二：過點A作交DE于M點，連結PM，則

∴為二面角A-DE-F的平面角，                                   ……11分

由=60⁰，AP=BF=2得AM，                      ……12分

又得，解得，

即時，平面與平面所成的銳二面角為．         ……14分】

考點：本小題主要考查線面平行、線面垂直的證明和二面角的求解.

點評：立體幾何問題，主要是考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，解決此類問題時，要緊扣相應的判定定理和性質定理，要將定理中要求的條件一一列舉出來，缺一不可，用空間向量解決立體幾何問題時，要仔細運算，適當轉化.