Question

【題目】已知函數．

（1）當時，證明函數在是單調函數；

（2）當時，函數在區間上的最小值是，求的值；

（3）設，是函數圖象上任意不同的兩點，記線段的中點的橫坐標是，證明直線的斜率 ．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)首先求解導函數，由可得函數在是單增函數；

(2)利用函數的單調性結合題意得到關于實數a的方程，解方程可得．

(3)首先求得斜率的表達式，然后結合表達式設 ，構造新函數，結合函數的特征即可證得結論.

試題解析：

（1）解：．

因為，，所以．∴函數在是單增函數；

（2）解：在上，分如下情況討論：

1．當時，，函數單調遞增，其最小值為，這與函數在上的最小值是相矛盾；

2．當時，函數在單調遞增，其最小值為，同樣與最小值是相矛盾；

3．當時，函數在上有，單調遞減，在上有，單調遞增，

∴函數的最小值為，得．

（3）證明：當時，,．

又,不妨設，

要比較與的大小，即比較與的大小，又因為，

所以即比較與的大小．

令，則∴在上是增函數．

又，∴，，即．