Question

（2013•上海）已知函數f（x）=2sin（ωx），其中常數ω＞0
（1）令ω=1，判斷函數F（x）=f（x）+f（x+

π

2

）的奇偶性，并說明理由；
（2）令ω=2，將函數y=f（x）的圖象向左平移個

π

6

單位，再向上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象，對任意a∈R，求y=g（x）在區間[a，a+10π]上零點個數的所有可能值．

Answer 1

分析：（1）特值法：ω=1時，寫出f（x）、F（x），求出F（

π

4

）、F（-

π

4

），結合函數奇偶性的定義可作出正確判斷；
（2）根據圖象平移變換求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零點，而[a，a+10π]恰含10個周期，分a是零點，a不是零點兩種情況討論，結合圖象可得g（x）在[a，a+10π]上零點個數的所有可能值；

解答：解：（1）f（x）=2sinx，
F（x）=f（x）+f（x+

π

2

）=2sinx+2sin（x+

π

2

）=2（sinx+cosx），
F（

π

4

）=2

2

，F（-

π

4

）=0，F（-

π

4

）≠F（

π

4

），F（-

π

4

）≠-F（

π

4

），
所以，F（x）既不是奇函數，也不是偶函數．
（2）f（x）=2sin2x，
將y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，再向上平移1個單位后得到y=2sin2（x+

π

6

）+1的圖象，所以g（x）=2sin2（x+

π

6

）+1．
令g（x）=0，得x=kπ+

5

12

π或x=kπ+

3

4

π（k∈z），
因為[a，a+10π]恰含10個周期，所以，當a是零點時，在[a，a+10π]上零點個數21，
當a不是零點時，a+kπ（k∈z）也都不是零點，區間[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有兩個零點，故在[a，a+10π]上有20個零點．
綜上，y=g（x）在[a，a+10π]上零點個數的所有可能值為21或20．

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、函數的奇偶性、根的存在性及根的個數的判斷，考查數形結合思想，結合圖象分析是解決（2）問的關鍵