Question

定義域為[a，b]的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個端點為A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點，其中x=λa+（1-λ）b∈[a，b]，已知向量

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，若不等式|

MN

|≤k恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)y=x-

1

x

在[1，2]上“k階線性近似”，則實數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A、[0，+∞）
• B、[

  1

  12

  ，+∞)
• C、[

  3

  2

  +

  2

  ，+∞)
• D、[

  3

  2

  -

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：本題求解的關(guān)鍵是得出M、N橫坐標(biāo)相等，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．

解答：解：由題意，M、N橫坐標(biāo)相等，|

MN

|≤k恒成立即k恒大于等于|

MN

|，則k≥|

MN

|的最大值，所以本題即求|

MN

|的最大值．
由N在AB線段上，得A（1，0），B（2，

3

2

）
AB方程y=

3

2

（x-1）
由圖象可知，MN=y₁-y₂=x-

1

x

-

3

2

（x-1）=

3

2

-（

x

2

+

1

x

）≤

3

2

-

2

（均值不等式）
故選D．

點評：解答的關(guān)鍵是將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，同時應(yīng)注意恒成立問題的處理策略．