Question

已知函數在區間[－1，1)，(1，3]內各有一個極值點．

(Ⅰ)求a²－4b的最大值；

(Ⅱ)當a²－4b＝8時，設函數y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線為l，若在點A處穿過y＝f(x)的圖象(即動點在點A附近沿曲線y＝f(x)運動，經過點A時，從l的一側進入另一側)，求函數f(x)的表達式．

Answer 1

答案：
解析：

(I)因為函數在區間，內分別有一個極值點，所以在，內分別有一個實根， 　　設兩實根為()，則，且．于是 　　，，且當，即，時等號成立．故的最大值是16． 　　(II)解法一：由知在點處的切線的方程是 　　，即， 　　因為切線在點處空過的圖象， 　　所以在兩邊附近的函數值異號，則 　　不是的極值點． 　　而，且 　　． 　　若，則和都是的極值點． 　　所以，即，又由，得，故． 　　解法二：同解法一得 　　． 　　因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，于是存在()． 　　當時，，當時，； 　　或當時，，當時，． 　　設，則 　　當時，，當時，； 　　或當時，，當時，． 　　由知是的一個極值點，則， 　　所以，又由，得，故．