Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分別是BC、A₁D₁的中點，M、N分別是AE、CD₁的中點，AD=AA₁=a，AB=2a，
（Ⅰ）求證：MN∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角P-AE-D的大小。

Answer 1

（Ⅰ）證明：取CD的中點K，連結MK，NK， ∵M，N，K分別為的中點， ∵， ∴， ∴， ∴。 （Ⅱ）解：設F為AD的中點， ∵P為的中點， ∴， ∴PF⊥面ABCD， 作FH⊥AE，交AE于H，連結PH， 則由三垂線定理得AE⊥PH， 從而∠PHF為二面角P-AE-D的平面角。 在Rt△AEF中，， 從而， 在Rt△PFH中，， 故二面角P-AE-D的大小為。