Question

（1）設a₁，a₂，…，a_n是各項均不為零的n（n≥4）項等差數列，且公差d≠0，若將此數列刪去某一項后得到的數列（按原來的順序）是等比數列．
（i）當n=4時，求

a1

d

的數值；
（ii）求n的所有可能值．
（2）求證：對于給定的正整數n（n≥4），存在一個各項及公差均不為零的等差數列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數列．

Answer 1

（1）①當n=4時，a₁，a₂，a₃，a₄中不可能刪去首項或末項，否則等差數列中連續三項成等比數列，則推出d=0．
若刪去a₂，則a₃²=a₁•a₄，即（a₁+2d）²=a₁•（a₁+3d）化簡得a₁+4d=0，得

a1

d

=-4
若刪去a₃，則a₂²=a₁•a₄，即（a₁+d）²=a₁•（a₁+3d）化簡得a₁-d=0，得

a1

d

=1
綜上，得

a1

d

=-4或

a1

d

=1．
②當n=5時，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅中同樣不可能刪去a₁，a₂，a₄，a₅，否則出現連續三項．
若刪去a₃，則a₁•a₅=a₂•a₄，即a₁（a₁+4d）=（a₁+d）•（a₁+3d）化簡得3d²=0，因為d≠0，所以a₃不能刪去；
當n≥6時，不存在這樣的等差數列．事實上，在數列a₁，a₂，a₃，…，a_n-2，a_n-1，a_n中，由于不能刪去首項或末項，
若刪去a₂，則必有a₁•a_n=a₃•a_n-2，這與d≠0矛盾；
同樣若刪去a_n-1也有a₁•a_n=a₃•a_n-2，這與d≠0矛盾；
若刪去a₃，，a_n-2中任意一個，則必有a₁•a_n=a₂•a_n-1，這與d≠0矛盾．（或者說：當n≥6時，無論刪去哪一項，剩余的項中必有連續的三項）
綜上所述，n=4．
（2）假設對于某個正整數n，存在一個公差為d的n項等差數列b₁，b₂，b_n，其中b_x+1，b_y+1，b_z+1（0≤x＜y＜z≤n-1）為任意三項成等比數列，則b²_y+1=b_x+1•b_z+1，即（b₁+yd）²=（b₁+xd）•（b₁+zd），化簡得（y²-xz）d²=（x+z-2y）b₁d（*）
由b₁d≠0知，y²-xz與x+z-2y同時為0或同時不為0
當y²-xz與x+z-2y同時為0時，有x=y=z與題設矛盾．
故y²-xz與x+z-2y同時不為0，所以由（*）得

b1

d

=

y2-xz

x+z-2y

因為0≤x＜y＜z≤n-1，且x、y、z為整數，所以上式右邊為有理數，從而

b1

d

為有理數．
于是，對于任意的正整數n（n≥4），只要

b1

d

為無理數，相應的數列就是滿足題意要求的數列．
例如n項數列1，1+

2

，1+2

2

，，1+(n-1)

2

滿足要求．