Question

（本小題滿分16分）

已知橢圓的左、右頂點分別A、B，橢圓過點（0，1）且離心率.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓上異于A，B兩點的任意一點P作PH⊥軸，H為垂足，延長HP到點Q，且PQ=HP，過點B作直線軸，連結AQ并延長交直線于點M，N為MB的中點，試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系.

 

Answer 1

【答案】

（1）.（2）直線QN與圓O相切.

【解析】(1)由b=1和離心率e,可求出a,c的值,從而可求出橢圓的標準方程.

(II) 設，則，設，∵HP=PQ，∴

即，將代入得，

所以Q點在以O為圓心，2為半徑的圓上，即Q點在以AB為直徑的圓O上.

然后求出N的坐標,再對坐標化可得=0,從而證得直線QN與圓O相切.

解： （1）因為橢圓經過點（0，1），所以，又橢圓的離心率得，

即，由得，所以，

故所求橢圓方程為.（6分）

（2）設，則，設，∵HP=PQ，∴

即，將代入得，

所以Q點在以O為圓心，2為半徑的圓上，即Q點在以AB為直徑的圓O上.

又A（－2，0），直線AQ的方程為，令，則，

又B（2，0），N為MB的中點，∴，，

∴

，∴，∴直線QN與圓O相切.（16分）