Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的傾斜角為，且經過點．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線，從原點O作射線交于點M，點N為射線OM上的點，滿足，記點N的軌跡為曲線C．

（Ⅰ）求出直線的參數方程和曲線C的直角坐標方程；

（Ⅱ）設直線與曲線C交于P，Q兩點，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）(t為參數)，；（Ⅱ）3.

【解析】

（Ⅰ）直接由已知寫出直線l1的參數方程，設N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由題意可得，即ρ＝4cosθ，然后化為普通方程；

（Ⅱ）將l1的參數方程代入C的直角坐標方程中，得到關于t的一元二次方程，再由參數t的幾何意義可得|AP||AQ|的值．

（Ⅰ）直線l1的參數方程為，（t為參數）

即（t為參數）．設N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），

則，即，即ρ=4cosθ，

∴曲線C的直角坐標方程為x2-4x+y2=0（x≠0）.

（Ⅱ）將l1的參數方程代入C的直角坐標方程中，

得，

即，t1，t2為方程的兩個根，

∴t1t2=-3，∴|AP||AQ|=|t1t2|=|-3|=3．