Question

設(shè)a為實(shí)常數(shù)，函數(shù)y=2x²+（x-a）|x-a|．
（1）當(dāng)x=0時(shí)，y≥1，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求y在x≥a時(shí)的最小值；當(dāng)a∈R時(shí)，試寫出y的最小值（不必寫出解答過(guò)程）．
（3）當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，求不等式y(tǒng)≥1的解集．

Answer 1

分析：（1）把x=0直接代入不等式，化為關(guān)于a的不等式，去絕對(duì)值后求解a的范圍；
（2）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，去絕對(duì)值后利用二次函數(shù)的單調(diào)性求最小值；對(duì)x大于等于a和x小于等于a進(jìn)行分類，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出兩段函數(shù)在a的不同取值下的最小值，取最小值中的最小者；
（3）由y≥1，得3x²-2ax+a²-1≥0，然后利用不等式對(duì)應(yīng)二次方程的判別式小于等于0和大于0分類，特別是當(dāng)判別式大于0時(shí)對(duì)不等式所對(duì)應(yīng)的方程的根進(jìn)一步分類進(jìn)行求解．

解答：解：（1）因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，y≥1，故，-a|a|≥1⇒

a＜0 a2≥1

⇒a≤-1；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，y=3x²-2x+1（x≥1）．
函數(shù)在[1，+∞）上為增函數(shù)，
故y在x≥1的最小值為y=3•1²-2•1+1=2；
當(dāng)a∈R時(shí)，
若x≥a，則y=3x²-2ax+a²，ymin=

2a2    (a≥0) 2a2 3    (a＜0)

．
若x≤a，則y=x²+2ax-a²，ymin=

-2a2   (a≥0) 2a2     (a＜0)

．
綜上，當(dāng)a∈R時(shí)，ymin=

-2a2   (a≥0) 2a2 3     (a＜0)

；
（3）x∈（a，+∞）時(shí)，由y≥1，得3x²-2ax+a²-1≥0，△=4a²-12（a²-1）=12-8a²
當(dāng)a≤-

6

2

或a≥

6

2

時(shí)，△≤0，x∈（a，+∞）；
當(dāng)-

6

2

＜a＜

6

2

時(shí)，△＞0，得：

(x- a- 3-2a2 3 )(x- a+ 3-2a2 3 )≥0 x＞a

，
討論得：當(dāng)a∈(

2

2

，

6

2

)時(shí)，解集為（a，+∞）；
當(dāng)a∈(-

6

2

，-

2

2

)時(shí)，
解集為(a，

a- 3-2a2

3

]∪[

a+ 3-2a2

3

，+∞)；
當(dāng)a∈[-

2

2

，

2

2

]時(shí)，
解集為[

a+ 3-2a2

3

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次不等式的解法，考查分類討論的思想及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了函數(shù)值域的求法，考查了學(xué)生的綜合運(yùn)算能力，是中高檔題．