Question

（08年濱州市質檢三理） 如圖，已知四棱錐P―ABCD的底面ABCD為等腰三角梯形，AB∥CD，AC⊥BC，AC∩BD=0，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又OB=2，OP=，PD⊥PD.

   （1）求二面角B―PA―D的余弦的絕對值；

   （2）在棱PC上是否存在點M，使PC⊥平面BMD？若存在，求出點M的位置；若不存在，試說明理由。

   （3）在（2）的條件下，求三棱錐C―BMD的體積.

 

Answer 1

解析:解法一：（I）

    ∽

   

    又∵四邊形ABCD為等腰梯形

    ∴OC=OD=1，OA=OB=2

    過點D作DE⊥PA于E，連結BE.

    ∵PO⊥面ABCD  ∴PO⊥面ABCD

∵BD⊥AC  ∴BD⊥面PAC. BD⊥PA

∴PA⊥面BDE. PA⊥BE

∴∠BED就是二面角B―PA―D的平面角

在△PAD中，PD=，

在△PAB中，PA=

故二面角B―PA―D的余弦的絕對值為.

   （II）假設在棱PC上存在點M，使PC⊥面BMD.

由（I）知BD⊥PC.所以只需PC⊥OM即可

此時

∴PM=2MC.

∴點M在PC的三等分點（靠近點C）處，可使PC⊥平面BMD.  

   （III） 

法二：頂點P在底面ABCD上的射影恰為O點

∴PO⊥BD，又PB⊥PD  ∴Rt△POD∽Rt△BOP

∴

分別以直線OA、OB、OP為x軸、y軸、z軸

建立直角坐標系，

則A（2，0，0），B（0，2，0，），C（－1，0，0），

D（0，－1，0），P（0，0，）

   （I）

設平面PAB，PAD的法向量分別為則

取

∴二面角B―PA―D的余弦的絕對值是 

   （II）設

，，

若PC⊥平面BMD，則

∴

故點M在棱PC的三等分點（靠近點C）處，使PC⊥平面BMD.