Question

某水域一艘裝載濃硫酸的貨船發生側翻，導致濃硫酸泄漏，對河水造成了污染．為減少對環境的影響，環保部門迅速反應，
及時向污染河道投入固體堿，1個單位的固體堿在水中逐漸溶化，水中的堿濃度f（x）與時間x（小時）的關系可近似地表示
為：f（x）=，只有當污染河道水中堿的濃度不低于時，才能對污染產生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效的抑制作用的時間有多長？
（2）第一次投放1單位固體堿后，當污染河道水中的堿濃度減少到時，馬上再投放1個單位的固體堿，設第二次投放后水中堿濃度為g（x），求g（x）的函數式及水中堿濃度的最大值．（此時水中堿濃度為兩次投放的濃度的累加）

Answer 1

【答案】分析：（1）利用分段函數解析式，分別列出不等式，解之，即可求得x的范圍，從而可得能夠維持有效抑制作用的時間；
（2）確定第二次投放后水中堿濃度g（x）的解析式，再分段利用導數或基本不等式研究其單調性，即可求得最大值．
解答：解：（1）由題意知或
解得1≤x＜3或3≤x≤4，即1≤x≤4
能夠維持有效的抑制作用的時間：4-1=3小時．
（2）由（1）知，x=4時第二次投入1單位固體堿，顯然g（x）的定義域為4≤x≤10
當4≤x≤6時，第一次投放1單位固體堿還有殘留，
故g（x）=（1-）+[2--]=；
當6＜x≤10時，第一次投放1單位固體堿已無殘留，故
當6＜x≤7時，
g（x）=2--=；
當7＜x≤10時，g（x）=1-=；
所以g（x）=
當4≤x≤6時，g（x）==；
當且僅當時取“=”，即x=1+3（函數值與自變量值各1分）
當6＜x≤10時，第一次投放1單位固體堿已無殘留，
當6＜x≤7時，
g′（x）=，所以g（x）為增函數；
當7＜x≤10時，g（x）為減函數；故 g（x）_max=g（7）=，
又，
所以當x=1+3時，水中堿濃度的最大值為．
答：第一次投放1單位固體堿能夠維持有效的抑制作用的時間為3小時；第一次投放1+3小時后，水中堿濃度的達到最大值為．
點評：本題考查分段函數，不等式，函數的單調性，考查利用基本不等式求函數的最值，確定函數的解析式是關鍵．