Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，其左、右焦點分別為F₁，F₂，點P是坐標平面內一點，且|OP|=

7

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

（O為坐標原點）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過F₁的直線L與該橢圓相交于M、N兩點，且|

F1M

|=2|

F1N

|，求直線L的方程．

Answer 1

（1）設P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0）．
則由|OP|=

7

2

，得x02+y02=

7

4

．
由

PF1

•

PF2

=

3

4

，得(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=

3

4

．
即x02+y02-c2=

3

4

，∴c=1．
又∵

c

a

=

2

2

，∴a²=2，b²=1．
因此所求橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1；
（2）設直線L的方程為y=k（x+1），
聯立

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x1x2=

2(k2-1)

2k2+1

．
∵y₁=-2y₂，
∴

-y2=y1+y2=k(x1+x2+2)= 2k 2k2+1 -2y22=y1y2=k2(x1x2+x1+x2+1)=- k2 2k2+1

，解得：k=±

14

2

．
∴直線L的方程為y=±

14

2

(x+1)．
即

14

x-2y+

14

=0或

14

x+2y+

14

=0．