Question

如圖 I，平面四邊形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=150°，AB=AD=2BC=4，把△ABD沿直線BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，連接AC得到如圖 II所示四面體A-BCD．設點O，E，F分別是BD，AB，AC的中點．連接CE，BF交于點G，連接OG．
（1）證明：OG⊥AC；
（2）求二面角B-AD-C的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知，△ABD是等邊三角形，取OD的中點M，連接AM、CM、FM，先證明AM=CM，根據F為AC中點，可得MF⊥AC，再證明OG∥MF，即可得到結論；
（2）取AD中點N，連接CN，BN，則∠BNC是二面角B-AD-C的平面角，從而可求二面角B-AD-C的大小．

解答：（1）證明：由已知，△ABD是等邊三角形，取OD的中點M，連接AM、CM、FM
在△ABM中，BM=3，AB=4，B=60°，由余弦定理得AM=

13

在△CBM中，BC=2，BM=3，CB⊥BD，得CM=

13

所以AM=CM，
因為F為AC中點，所以MF⊥AC
由已知，G為三角形ABC的重心，所以BG：GF=BO：OM=2：1
所以OG∥MF，所以OG⊥AC；…6'
（2）解：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CB⊥BD，∴CB⊥面ABD
∵AB?面ABD，∴CB⊥AB
∴△ABC≌△BCD，∴AC=CD
取AD中點N，連接CN，BN，則CN⊥AD，BN⊥AD，所以∠BNC是二面角B-AD-C的平面角．
在△BNC中，CB⊥BN，BC=2，BN=2

3

，∴∠BNC=30°
∴二面角B-AD-C的大小為30°…12'

點評：本題考查線線垂直，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．