Question

已知函數(shù)f（x）=-x³-ax²+b²x+1（a、b∈R）．
（1）若a=1，b=1，求f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；
（2）已知x₁，x₂為f（x）的極值點，且|f（x₁）-f（x₂）|=

2

9

|x₁-x₂|，若當x∈[-1，1]時，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒小于m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=1，b=1代入函數(shù)f（x）=-x³-ax²+b²x+1，求導，分析導函數(shù)的符號，可得f（x）的單調(diào)性、極值；
（2）根據(jù)x₁，x₂為f（x）的極值點，得到x₁，x₂為方程-3x²-2ax+b²=0的兩根，利用韋達定理得到x₁+x₂=-

2a

3

，x₁x₂=-

b2

3

，并把|f（x₁）-f（x₂）|=

2

9

|x₁-x₂|代入化簡得到|9+

b2

3

-

2a2

3

-b²|=

2

9

，利用導數(shù)的幾何意義得到k=f′（x）=-3x²-2ax+b²=-3x²-2ax+

1-a2

3

，要求函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒小于m，實際上是求k=f′（x）的最大值．

解答：解：（1）f（x）=-x³-x²+x+1，f′（x）=-3x²-2x+1=-（3x-1）（x+1）．

f（x）的極大值為

32

27

，極小值為0．
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，

1

3

），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1），（

1

3

，+∞）．
（2）∵f（x）=-x³-ax²+b²x+1，
∴f′（x）=-3x²-2ax+b²，又x₁，x₂為f（x）的極值點，
∴x₁，x₂為方程-3x²-2ax+b²=0的兩根，
x₁+x₂=-

2a

3

，x₁x₂=-

b2

3

，
∵|f（x₁）-f（x₂）|=

2

9

|x₁-x₂|，
∴|-x₁³-ax₁²+b²x₁+1+x₂³+ax₂³-b²x₂-1|=

2

9

|x₁-x₂|，
整理得|x₁²+x₁x₂+x₂²+a（x₁+x₂）-b²|=

2

9

，
即|9+

b2

3

-

2a2

3

-b²|=

2

9

，
∴a²+3b²=1，∴a²≤1．
∵k=f′（x）=-3x²-2ax+b²=-3x²-2ax+

1-a2

3

，
f′（x）_max=f′(-

a

3

)=

1

3

，
∴m＞

1

3

．

點評：此題是個難題．考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值問題以及導數(shù)的幾何意義．考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．