Question

某家庭為小孩買教育保險，小孩在出生的第一年父母就交納保險金，數目為a₁，以后每年交納的數目均比上一年增加d（d＞0），因此，歷年所交納的保險金數目為a₁，a₂，…是一個公差為d的等差數列，與此同時保險公司給予優惠的利息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利，這就是說，如果固定利率為r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交納的保險金就變為a₁（1+r）^n-1，第二年所交納的保險金就變為a₂（1+r）^n-2，…，以Tn表示到第n年末所累計的保險金總額．
（1）寫出T_n與T_n+1的遞推關系（n≥1）；
（2）若a₁=1，d=0.1，求{T_n}的通項公式．（用r表示）

Answer 1

分析：（1）通過已知條件求出等差數列的通項公式，然后根據條件寫出T_n與T_n+1的遞推關系（n≥1）；
（2）通過（1）的遞推關系式，利用待定系數法，構造新數列，求出數列的通項公式，即可得到{T_n}的通項公式．

解答：解：（1）因為數目為a₁，以后每年交納的數目均比上一年增加d（d＞0），
因此，歷年所交納的保險金數目為a₁，a₂，…是一個公差為d的等差數列，所以a_n=a₁+nd，
與此同時保險公司給予優惠的利息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利，
這就是說，如果固定利率為r（r＞0），
那么，在第n年末，第一年所交納的保險金就變為a₁（1+r）^n-1，
第二年所交納的保險金就變為a₂（1+r）^n-2，…，所以T_n=T_n-1（1+r）+a_n（n≥2）．
∴T_n+1=T_n（1+r）+a₁+nd  （6分）
（2）T_n+1=T_n（1+r）+

1

10

n+1，T₁=a₁=1
用待定系數法：T_n+1+A（n+1）+B=（1+r）（T_n+An+B）
解得：A=

1

10r

，B=

10r+1

10r2

，所以{T_n+

1

10r

n+

10r+1

10r2

}是以1為首項以1+r為公比的等比數列，
∴T_n+

1

10r

n+

10r+1

10r2

=

(1+r)n-1

r

解得：T_n=

(10r2+11r+1)(1+r)n-1-rn-10r-1

10r2

（7分）

點評：本題考查數列模型的構建，考查等比數列求和的基本方法的運用，解題的關鍵是正確構建數列模型．