Question

一束光線從點(diǎn)F₁（-1，0）出發(fā)，經(jīng)直線l：x+2y+6=0上一點(diǎn)M反射后，恰好穿過(guò)點(diǎn)F₂（1，0）．
（1）求點(diǎn)F₁關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F'₁的坐標(biāo)；
（2）求以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)M的橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)F'₁（x₀，y₀），則根據(jù)垂直、中點(diǎn)在對(duì)稱軸上求得解得點(diǎn)F'₁的坐標(biāo)的坐標(biāo)．
（2）由對(duì)稱性知，|MF₁|=|MF'₁|，根據(jù)橢圓定義，得2a=|MF'₁|+|MF₂|=|F'₁F₂|，由此求得a的值，再由c=1求得b的值，從而求得橢圓C的方程．

解答：解：（1）設(shè)F'₁（x₀，y₀），則

y0

x0+1

=2，且

x0-1

2

+2•

y0

2

+6=0，
解得x₀=-3，y₀=-4，故點(diǎn)F'₁的坐標(biāo)為（-3，-4）．
（2）由對(duì)稱性知，|MF₁|=|MF'₁|，根據(jù)橢圓定義，
可得2a=|MF'₁|+|MF₂|=|F'₁F₂|=

(-3-1)2+(-4-0)2

=4

2

，即a=2

2

．
又由題意可得c=1，∴b=

a2-c2

=

7

，
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

7

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反射定律的應(yīng)用，求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，屬于中檔題．