Question

已知：sin²30°+sin²90°+sin²150°=

3

2

sin²5°+sin²65°+sin²125°=

3

2

sin²12°+sin²72°+sin²132°=

3

2

通過觀察上述兩等式的規律，請你寫出一般性的命題，并給予的證明．

Answer 1

分析：通過所給的等式歸納出一般形式，利用二倍角的余弦公式將等式的左邊降冪求出左邊的值，即得到證明．

解答：解：一般形式：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=

3

2

…（4分）
證明    左邊=

1-cos2α

2

+

1-cos(2α+120°)

2

+

1-cos(2α+240°)

2

…（7分）
=

3

2

-

1

2

[cos2α+cos(2α+120°)+cos(2α+240°)]
=

3

2

-

1

2

[cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°+cos2cos240°-sin2αsin240°]…（11分）
=

3

2

-

1

2

[cos2α-

1

2

cos2α-

3

2

sin2α-

1

2

cos2α+

3

2

sin2α]…（13分）
=

3

2

=右邊
∴原式得證…（14分）
（將一般形式寫成 sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=

3

2

，sin²（α-240°）+sin²（α-120°）+sin²α=

3

2

等均正確，其證明過程可參照給分．）

點評：本題考查通過歸納推理猜想結論；考查利用二倍角的余弦公式將三角函數式進行降冪，屬于基礎題．