Question

設函數（），．

(1) 將函數圖象向右平移一個單位即可得到函數的圖象，試寫出的解析式及值域；

(2) 關于的不等式的解集中的整數恰有3個，求實數的取值范圍；

(3) 對于函數與定義域上的任意實數，若存在常數，使得和都成立，則稱直線為函數與的“分界線”．設，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

的解集中的整數恰有3個轉化為解集的兩個端點所在區間問題,從而把問題轉化為研究二次方程的根的分布問題;又由于轉化后的不等式可以分解因式因此可以化為更簡單的問題求解; (3)該題一般的思考應該是分兩次研究兩個恒成立問題,含有兩個參數,增加問題的難度,如果能轉化為求公共切線問題,就可以使問題得到簡化,因此可以想到這兩條曲線是否存在公共點,即探討兩曲線的交點,再研究過交點的公共切線;該題考查函數性質、數形結合、解不等式、導數及其運用、分類討論、轉化化歸能力、分析問題解決問題能力，其中(1)是簡單題, (2)是中檔題, (3)是難題。

21解：（1），值域為　　　　　　　　　…………2分

（2）解法一:不等式的解集中的整數恰有3個，

等價于恰有三個整數解，故，　　　　　　

令，由且，

所以函數的一個零點在區間，

則另一個零點一定在區間，　　　　　　　　　　　　　　　　　…………4分

故解之得．　　　　　　　　　　　　　　　　　…………6分

解法二：恰有三個整數解，故，即，

，

所以，又因為，　　　…………4分

所以，解之得．　　　　　　　　　　　……6分

（3）設，則．

所以當時，；當時，．

因此時，取得最小值，

則與的圖象在處有公共點．　　　　　　　………8分

設與存在 “分界線”，方程為，

即，

由在恒成立，則在恒成立 ．

所以成立，

因此．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………8分

下面證明恒成立．

 設，則．

 所以當時，；當時，．

因此時取得最大值，則成立．

故所求“分界線”方程為：．　　　　　　　　　　　　…………12分