Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+x2 ．
（Ⅰ）求函數h（x）=f（x）﹣3x的極值；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）﹣ax在定義域內為增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，得h（x）=f（x）﹣3x=lnx+x2﹣3x， （x＞0），

令 =0，得x= 或x=1，

∴當x∈（0， ）∪（1，+∞）時，h′（x）＞0，當x∈（ ）時，h′（x）＜0，

∴h（x）在（0， ），（1，+∞）上為增函數，在（ ）上為減函數．

∴h（x）極小值=h（1）=﹣2， ；

（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，g′（x）= ，

由題意，知g′（x）≥0（x＞0）恒成立，

即a≤ ．

∵x＞0時，2x+ ，當且僅當x= 時等號成立．

故 ，

∴a ．

【解析】（Ⅰ）由已知得到h（x），求其導函數，解得導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，求得函數的單調區間，進一步求得極值；（Ⅱ）由函數g（x）=f（x）﹣ax在定義域內為增函數，可得g′（x）≥0（x＞0）恒成立，分離參數a，利用基本不等式求得最值得答案．