Question

（2013•浦東新區二模）已知向量

m

=(1，1)，向量

n

與向量

m

的夾角為

3π

4

，且

m

•

n

=-1．
（1）求向量

n

；
（2）若向量

n

與

q

=(1，0)共線，向量

p

=(2cos2

C

2

，cosA)，其中A、C為△ABC的內角，且A、B、C依次成等差數列，求|

n

+

p

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設設

n

=(x，y)，由題意可建立關于xy的方程組，解之即可；
（2）結合題意易得

n

=(-1，0)，0＜A＜

2π

3

，進而可得的坐標，可表示|

n

+

p

|，結合三角函數的知識由A的范圍逐步可得所求范圍．

解答：解：（1）設

n

=(x，y)．由

m

•

n

=-1，得x+y=-1①
又向量

n

與向量

m

的夾角為

3π

4

得-

2

2

=

-1

2 • x2+y2

，即x²+y²=1②
由①、②解得

x=-1 y=0

或

x=0 y=-1

，
∴

n

=(-1，0)或

n

=(0，-1)．…（5分）
（2）結合（1）由向量

n

與

q

=(1，0)共線知

n

=(-1，0)；
由A、B、C依次成等差數列知B=

π

3

，A+C=

2π

3

，0＜A＜

2π

3

．…（7分）
∴

n

+

p

=(-1+2cos2

C

2

，cosA)=(cosC，cosA)，
∴|

n

+

p

|2=cos2C+cos2A=

1-cos2A

2

+

1-cos2C

2

=1+

1

2

[cos2A+cos(

4π

3

-2A)]=1+

1

2

cos(2A+

π

3

)．…（10分）
∵0＜A＜

2π

3

，

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
∴-1≤cos(2A+

π

3

)＜

1

2

，∴

1

2

≤1+cos(2A+

π

3

)＜

5

4

，
∴|

n

+

p

|2∈[

1

2

，

5

4

)，∴|

n

+

p

|∈[

2

2

，

5

2

)．…（12分）

點評：本題考查平面向量的數量積的運算，涉及正余弦函數的定義域和值域，屬中檔題．