Question

（2011•惠州模擬）數(shù)列bn+1=

1

2

bn+

1

4

，且b1=

7

2

，Tn為{bn}的前n項(xiàng)和．
（1）求證：數(shù)列{bn-

1

2

}是等比數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）如果{b_n}對任意n∈N*，不等式

12k

(12+n-2Tn)

≥2n-7恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對數(shù)列遞推式進(jìn)行變形，即可證明數(shù)列{bn-

1

2

}是等比數(shù)列，從而可求其通項(xiàng)，進(jìn)而可求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先求出數(shù)列的和，再利用分離參數(shù)法，證明數(shù)列的單調(diào)性，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：（1）證明：對任意n∈N^*，都有bn+1=

1

2

bn+

1

4

，所以bn+1-

1

2

=

1

2

(bn-

1

2

)…（1分）
則數(shù)列{bn-

1

2

}成等比數(shù)列，首項(xiàng)為b1-

1

2

=3，公比為

1

2

…（2分）
所以bn-

1

2

=3×(

1

2

)n-1，
∴bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

…（4分）
（2）解：因?yàn)?span id="ysgcs2k" class="MathJye">bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

所以Tn=3×

1- 1 2n

1- 1 2

+

n

2

=6(1-

1

2n

)+

n

2

…（6分）
因?yàn)椴坏仁?span id="q2gcsa2" class="MathJye">

12k

(12+n-2Tn)

≥2n-7，化簡得k≥

2n-7

2n

對任意n∈N^*恒成立…（7分）
設(shè)cn=

2n-7

2n

，則cn+1-cn=

9-2n

2n+1

…（9分）
當(dāng)n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列
∵c4=

1

16

，c5=

3

32

，∴c₄＜c₅，∴n=5時(shí)，c_n取得最大值

3

32

…（11分）
所以，要使k≥

2n-7

2n

對任意n∈N^*恒成立，k≥

3

32

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推式，考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分離常數(shù)，確定數(shù)列的最值．