Question

【題目】已知p：實數x滿足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0； q：實數x滿足2＜x≤3．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：p：由原不等式得，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0為，所以a＜x＜3a；

當a=1時，得到1＜x＜3；

q：實數x滿足2＜x≤3；

若p∧q為真，則p真且q真，∴實數x的取值范圍是：（2，3）

（2）解：p是q的必要不充分條件，即由p得不到q，而由q能得到p；

∴ ，解得1≤a≤2；

∴實數a的取值范圍是[1，2]

【解析】（1）先通過解一元二次不等式求出p下的x的取值范圍：a＜x＜3a，a=1時，所以p：1＜x＜3．根據p∧q為真得p，q都真，所以 ，所以解該不等式組即得x的取值范圍；（2）若p是q的必要不充分條件，則： ，所以解該不等式組即得a的取值范圍．
【考點精析】掌握復合命題的真假是解答本題的根本，需要知道“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真．