Question

在（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）²⁰⁰⁹的展開式中的x²系數等于（　　）

• A、C₂₀₀₉²
• B、C₂₀₀₉³
• C、C₂₀₁₀²
• D、C₂₀₁₀³

Answer 1

分析：欲求出（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）²⁰⁰⁹的展開式中的x²系數，先利用等比數列的求和公式計算（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）²⁰⁰⁹=

(1+x) 2010-(1+x) 2

x

，再根據它的展開式中的x²系數等于（1+x）²⁰¹⁰展開式中的x³系數C₂₀₁₀³即可解決問題．

解答：解：∵（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）²⁰⁰⁹
=

(1+x) 2[1-(1+x) 2008]

1-(1+x)

=

(1+x) 2010-(1+x) 2

x

它的展開式中的x²系數等于（1+x）²⁰¹⁰展開式中的x³系數C₂₀₁₀³，
故選D．

點評：本小題主要考查二項式定理的應用、等比數列求和等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．