Question

（本題滿分12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥底面,，點是棱的中點.                                                   

（Ⅰ）求點到平面的距離；

(Ⅱ) 若，求二面角的平面角的余弦值 .

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；(Ⅱ)

【解析】(I)可以利用體積法求解，根據．也可利用向量法．

(II)可以考慮向量法，建系后，求出二面角兩個面的法向量，然后求出法向量的夾角，再根據法向量的夾角與二面角相等或互補求解．

解：(Ⅰ)以為坐標原點，射線 分別為軸、軸、軸正半軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，  .因此），，.

則，所以⊥平面.又由∥知∥平面，故點到平面的距離為點到平面的距離，即為…（6分）

（Ⅱ)因為，則.設平面的法向量，則由可解得：，同理可解得

平面的法向量，故

所以二面角的平面角的余弦值為.                ……（12分）

注：此題也可用傳統法解答，可類似給分.