Question

已知數列a_n的前n項和為S_n．
（Ⅰ）若數列a_n是等比數列，滿足2a₁+a₃=3a₂，a₃+2是a₂，a₄的等差中項，求數列a_n的通項公式；
（Ⅱ）是否存在等差數列a_nn∈N^*，使對任意n∈N^*都有an•Sn=2n2(n+1)？若存在，請求出所有滿足條件的等差數列；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出等比數列的首項和公比，由已知條件列方程組求出首項和公比，則等比數列的通項公式可求；
（Ⅱ）假設存在滿足條件的數列{a_n}，設出公差后寫出通項公式和前n項和公式，代入an•Sn=2n2(n+1)，展開后由等式兩邊的系數相等列方程組求出首項和公差，即可說明存在等差數列{a_n}，使對任意n∈N^*都有an•Sn=2n2(n+1)．

解答：解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，
以題意，有

2a1+a3=3a2 a2+a4=2(a3+2)

，即

a1(2+q2)=3a1q          (1) a1(q+q3)=2a1q2+4  (2)

由（1）得：q²-3q+2=0，解得q=1或q=2．
當q=1時，不合題意；
當q=2時，代入（2）得a₁=2，所以an=a1qn-1=2•2n-1=2n；
（Ⅱ）假設存在滿足條件的數列{a_n}，設此數列的公差為d，
則[a1+(n-1)d][na1+

n(n-1)d

2

]=2n2(n+1)，
得：

d2

2

n2+(

3

2

a1d-d2)n+(a12-

3

2

a1d+

1

2

d2)=2n2+2n對n∈N^*恒成立，
則

d2 2 =2 3 2 a1d-d2=2 a12- 3 2 a1d+ 1 2 d2=0

，
解得：

d=2 a1=2

或

d=-2 a1=-2

．
當a₁=2，d=2時，a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
當a₁=-2，d=-2時，a_n=a₁+（n-1）d=-2-2（n-1）=-2n．
故存在等差數列{a_n}，使對任意n∈N^*都有an•Sn=2n2(n+1)，其中a_n=2n或a_n=-2n．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的通項公式，考查了等差數列的前n項和公式，訓練了比較系數法求參數的值，考查了學生的計算能力，屬中低檔題．