Question

橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交于點(diǎn)、，當(dāng)的周長(zhǎng)最大時(shí)，的面積是____________．

Answer 1

試題分析：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E．如圖：

由橢圓的定義得：△FAB的周長(zhǎng)：AB+AF+BF=AB+（4a-AE）+（4a-BE）=8a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，當(dāng)AB過(guò)點(diǎn)E時(shí)取等號(hào)；
∴AB+AF+BF=8a+AB-AE-BE≤8a；
即直線x=m過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)E時(shí)△FAB的周長(zhǎng)最大；
此時(shí)△FAB的高為：EF=2a．
此時(shí)直線x=m=c=a；
把x=a代入橢圓
的方程得：y=±．
∴AB=3a．
所以：△FAB的面積等于：S_△FAB=×3a×2a=．
點(diǎn)評(píng)：在解決涉及到圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問(wèn)題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．解決本題的關(guān)鍵在于利用定義求出周長(zhǎng)的表達(dá)式．