Question

已知橢圓的左右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四邊形是邊長為2的正方形.
（1）求橢圓方程；
（2）若分別是橢圓長軸的左右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)；（2）詳見解析；（3）存在Q(0,0)

解析試題分析：(1)根據橢圓的簡單幾何性質易得；(2)可設，寫出直線CM的方程，與橢圓方程聯立，把P的坐標用表示，然后進行平面向量的坐標運算即可；（3）對于存在性問題，可先假設定點存在，然后向量進行坐標運算求出Q（0，0）滿足條件.
試題解析：（1），，橢圓方程為,4分
（2），設，則,
直線：，即，
代入橢圓得,
，，，
（定值）,10分
（3）設存在滿足條件，則,

從而得m=0，∴存在Q（0，0）滿足條件.14分
考點：(1)橢圓的簡單幾何性質；（2）平面向量的坐標運算；（3）存在性問題.